红包扫雷群不要押金

多体物理的计算困境

我们知道，对于多体系统，Hilbert空间的大小随着粒子/自旋个数的增加而指数增长。例如，考虑一维Ising model，每个格点的Hilbert维度是2。如果是两个自旋的耦合：

微信抢红包双雷群规

H=s1z⊗s2zH=s_1^z\otimes s_2^z

那么哈密顿量H矩阵的维度则是2*2=4。对于N个自旋组成的一维系统，则哈密顿量矩阵的维度为D=2ND=2^N。举个简单例子，对于N=20N=20的系统，有D=220=1048576D=2^{20}=1048576，也就是说哈密顿量的矩阵是100万×100万的大小，尽管可以通过稀疏矩阵来存储，但如果要计算本征值和基态本征矢量，则会涉及到大量的矩阵乘法，这所消耗的计算资源仍是巨大的。

同时，对于多体系统，20个格点并不能很好地反映多体的物理性质。更何况如果我们考虑的是自旋为1或者更高的系统，或者是玻色子体系，每个local格点的维度可以是3、4、5 ... ，此时能计算的格点数就更少了。

对于凝聚态、冷原子系统，我们更关心低能的物理。因此，一个很自然的想法就是，我们能不能只考虑低能的态，能量高的态则可以丢掉，这就是Real-space renormalization group (RSRG) 的一个出发点。在RSRG里，我们的计算是从很少的几个格点开始。此时，我们可以很容易地通过数值计算得到只有几个格点的时候系统的本征态。之后，当哈密顿量矩阵大到一定程度的时候，可以通过把哈密顿量投影到能量最低的几个本征态张开的子空间上来减少矩阵的尺寸。这一步就是对能量进行截断红包扫雷群规大全。

简单举例：

首先从一个小的block出发。这个小的block可以只有一个格点，也可以有多个格点。之后，将这个block的哈密顿量和另一个相同block的哈密顿量耦合在一起，

Hsuper=H′⊗I+I⊗H′+V⊗VH_{super}=H\otimes I+I\otimes H+V\otimes V

其中V是两个block之间相互作用的算符。于是，我们得到一个更大的block。此时，哈密顿量矩阵的维度将非常大。

对于一个N红包扫雷群规大全×NN\times N的哈密顿量HH矩阵，其会有N个本征矢量。我们可以只计算出能量最低的M个本征矢量{|ψ1⟩,...,|ψM⟩}\{|\psi_1\rangle,...,|\psi_M\rangle \}，在这组基下写出新的哈密顿量H^m,n′=⟨ψm|H^|ψn⟩\hat H_{m,n}=\langle\psi_m|\hat H|\psi_n\rangle。此时，哈密顿量的维度变成了M×MM\times M。

衢州微信红包群扫雷

一般而言，N会很大，M则可以很小（根据计算能力选择保留的大小），那么我们就成功地使矩阵的维度减少了。

之后，把截断后的两个相同block再次和之前一样耦合在一起，得到新的block。此时矩阵的维度又变大了（M2M^2），于是我们可以继续做前一步类似的投影截断，得到再一次截断后的哈密顿量矩阵。

不断重复这个过程，最终能量收敛，达到fixed point后再停止。这个过程也经常被称为RG flow。事实上这种方法不仅限于1维，还可以应用到更高的维度。从物理上来说，这个过程类似于粗粒化，也就是我们不断地把小的block合并在一起，变成一个整体，忽略了其中的细节。

这个方法被K. G. Wilson 成功应用到了Kondo problem里（1982），并获得了诺贝尔物理学奖。Wilson还写了一篇比较科普的文章《Problems in Physics with Many Scales of Length 》，里面使用了二维Ising模型的铁磁、反铁磁相展示了RG的物理意义，非常有趣。红包扫雷群规大全

回头来看，从物理的角度而言，这种做法似乎非常reasonable，但是在用这套方法计算其它模型的时候碰到了各种各样的问题。种种迹象表明这样简单粗暴的方法局限性很大（由于篇幅、能力所限，没办法很好地把这一部分内容详细地进行介绍，上述算法也可能和原始论文有所出入，可参考相关参考文献）。

Why DMRG

DMRG的名字DensityMatrixRenormalizationGroup 翻译过来是密度矩阵重整化群。这一个方法可以认为是由RSRG 推广而来。DMRG的算法中不再以本征能量作为截断的标准，而是以量子纠缠作为截断的标准。在RSRG里，我们把block投影到了能量最低的几个态的空间，然后再拼在一起。事实上这种做法暗示着两个block的基态和新block的基态是很接近的。事实上这并不一定成立。例如下图所示，

当两个block拼在一起的时候，会发现在连接处可能会严重偏离真实的基态。换言之，新的大block的本征态并不能很好地被这两个小block的能量最低的几个本征态很好地表示。

White注意到，这样的策略不能很好地反映两个block间的联系。那么，应该用什么指标来反映这种联系呢？在量子力学中，纠缠度是一个很好的量来反映两个自由度（这里是两个block）之间的关联程度。于是，可以使用纠缠来优化算法，而纠缠则可以通过约化密度矩阵(reducedd红包扫雷群规大全ensitymatrix)来计算，这就是DMRG的核心。

下一部分内容将介绍具体的算法。

5一20元扫雷红包群

...